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\title{Oscilator: Simulación de un movimiento armónico amortiguado }
\author{Carlos L\'{o}pez Camey y Mart\'{i}n Guzm\'{a}n}
%\date{}                                           % Activate to display a given date or no date


\begin{document}
\maketitle


\begin{abstract}

        Dise\~{n}amos y constru\'{i}mos un simulador de un sistema masa-resorte en un movimiento libre amortiguado.
\end{abstract}

\section{Modelaje}

Consideremos un sistema-masa resorte, en donde un resorte flexible se suspende verticalmente de un soporte r\'{i}gido y luego se une una masa $m$ a su extremo libre. Existe tambi\'{e}n una fuerza amortiguada $F_{amortiguadora}$ considerada proporcional a la velocidad instant\'{a}nea del sistema $v$, digamos $F_{amortiguadora} = bv$. \\

Sabemos que por la Ley de Hooke, el resorte ejerce una fuerza restauradora $F_{resorte} = ks$  opuesta a la direcci\'{o}n de alargamiento y proporcional a la cantidad de elongaci\'{o}n $s$ en donde $k$ es una constante de proporcionalidad llamada \textbf{constante de resorte}. 

En un diagrama de cuerpo libre, tenemos 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[
    force/.style={>=latex,draw=blue,fill=blue},
    axis/.style={densely dashed,gray,font=\small},
    M/.style={rectangle,draw,fill=lightgray,minimum size=0.5cm,thin},
    m/.style={rectangle,draw=black,fill=green,minimum size=0.3cm,thin},
    plane/.style={draw=black,fill=blue!10},
    string/.style={draw=red, thick},
    pulley/.style={thick},
]

\matrix[column sep=1cm] {
    
    %%%
    % Free body diagram of m
    \node[m] (m) {m};
    \draw[axis,->] (m) -- ++(0,-2) node[left] {$+$};
    {[force,->]
        \draw (m.north) -- ++(0,1) node[above] {$k(s+x) + F_{amortiguadora}$};
        \draw (m.south) -- ++(0,-1) node[right] {$mg$};
    }

\\
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Deducimos por la segunda ley de Newton que
\[ma = mg - k(s+x) - F_{amortiguadora}  = mg - ks - kx - F_{amortiguadora}\]

Notemos que los t\'{e}rminos $mg$ y $ks$ son iguales en $t=0$, por lo que
\[ma = -kx - F_{amortiguadora}\]
\[ma + bv  + kx = 0\]

Escrito de otra forma, 
\begin{equation}
my''  + by' + kx = 0
\label{eq1}
\end{equation}

Con condiciones iniciales $y(0) = s = x_o$ y $y'(0) = v_o$

\section{Soluci\'{o}n}

Re-escribiendo (\ref{eq1}) tenemos:
\begin{equation}
y'' + 2\lambda y' + \omega^2 y =0 
\label{eqn:zill}
\end{equation}

en donde escogemos $2\lambda = \frac{b}{m}$ y $\omega^2 = \frac{k}{m}$ por conveniencia algebra\'{i}ca.  \\

Tenemos una ecuaci\'{o}n lineal homog\'{e}nea con coeficientes constantes, cuyo polinomio caracter\'{i}stico es 

\[ m^2 + 2\lambda m + \omega^2 = 0\]

con ra\'{i}ces en 
\[ m_1 = -\lambda + \sqrt{\lambda^2-\omega^2}\]
\[ m_2 = -\lambda - \sqrt{\lambda^2-\omega^2}\]

Notemos entonces que existen tres diferentes casos para las ra\'{i}ces i.e. soluciones

\vspace{1cm}


\subsection{Caso 1:} 
Si $\lambda^2 - \omega^2>0$ o dicho de otra menera, $b^2 > 4mk $,entonces, tenemos dos soluciones reales y decimos que el sistema est\'{a} \textbf{sobreamortiguado}, por que el coeficiente de amortiguamiento $b$ es grande comparado con la constante de resorte $k$. La soluci\'{o}n correspondiente a \ref{eqn:zill} y por consiguiente a la expresi\'{o}n que modela el movimiento en funci\'{o}n del tiempo es,

\[ y(t) = c_1e^{m_1t}+c_2e^{m_2t}\]

En donde sabemos que $y(0) = x_o$, por lo tanto

\[ y(0) = x_o = c_1 + c_2 \implies c_1 = x_o - c_2\]

Derivando (\ref{eqn:zill}), tenemos

\[ y'(t) = c_1m_1e^{m_1t} + c_2m_2e^{m_2t} \]


Y dadas las condiciones iniciales, podemos evaluar en $t=0$, que

\[ y'(0) = v_o = c_1m_1 + c_2m_2\]

Substituyendo $c_1 = x_o - c_2$

\[ v_o = (x_o - c_2)m_1 + c_2m_2 \]

\[ \implies c_2 = \frac{v_o - x_om_1}{m_2-m_1}\]

Notemos que $c_1$ y $c_2$ est\'{a}n en t\'{e}rminos de las condiciones del problema. 

\vspace{1cm}

\subsection{Caso 2:}
Si $\lambda^2 - \omega^2=0$ o bien, $b^2 = 4mk $, entonces, decimos que el sistema est\'{a} cr\'{i}ticamente amortiguado y tenemos una soluci\'{o}n real, por lo que la soluci\'{o}n correspondiente ser\'{i}a 

\[ y(t) = c_1e^{m_1t} + c_2te^{m_1t}\]

e inmediatamente vemos que

\[ y(0)  = c_1 =  x_o\]

De nuevo, derivando la soluci\'{o}n $y(t)$, tenemos la expresi\'{o}n que modela a la velocidad de este respecto al tiempo

\[ y'(t) = c_1m_1e^{m_1t} + c_2[m_1te^{m_1t} + e^{m_1t}]\]

que dadas las condiciones iniciales, tenemos

\[ y'(0) = x_om_1 + c2 = v_o \]

\[ \implies c_2 = v_o - x_om_1\]


\vspace{1cm}
\subsection{Caso 3:}
Si $\lambda^2 - \omega^2 < 0$, o bien,$b^2 < 4mk$, decimos que el sistema est\'{a} subamortiguado, puesto que el coeficiente de amortiguamiento es peque\~{n}o comparado con la constante del resorte y la masa. Las ra\'{i}ces ahora son complejas:

\[ m_1 = -\lambda + \sqrt{\lambda^2-\omega^2}  i\]
\[ m_2 = -\lambda - \sqrt{\lambda^2-\omega^2} i \]

As\'{i} que la ecuaci\'{o}n general de (\ref{eqn:zill}) en este caso es,

\[ y(t) = e^{-\lambda t}(c_1\cos{\beta t} + c_2\sin{\beta t} )\]

en donde $\beta = \sqrt{\omega^2 - \lambda^2}$ 

Entonces,

\[ y'(t) = -\lambda e^t (c_1\cos{\beta t} + c_2\sin{\beta t}) + e^{-\lambda t} \beta(-c_1 \sin{\beta t} + c_2 \cos{\beta t})\]

Por lo tanto,

\[ y(0 = c_1 = x_o\]

y

\[ y'(0) = -\lambda c_1 + c_2\beta \]

\[ \implies c_2  = \frac{v_o+\lambda x_o}{\beta}\]
\end{document}  


